Обчислювальні навички і уміння як компоненти обчислювальної діяльності

Обчислювальні навички і уміння як компоненти обчислювальної діяльності

Під обчислювальною діяльністю школярів, у вузькому плані, розуміємо сукупність предметних і мислительних операцій, що здійснюється при виконанні чотирьох арифметичних дій. Однак таку діяльність не можна відокремлювати від якостей, пов'язаних із загальним розвитком дітей. Адже в широкому плані вона передбачає активізацію пам'яті, уваги, цілеспрямованості, самостійності тощо.

Навчання обчислювальної діяльності передбачає формування в учнів певних способів дій, які дають змогу свідомо, впевнено і раціонально виконувати обчислювання. У методичній літературі поняття "обчислювальне уміння" не розглядається як здатність здійснювати відповідну діяльність, а трактується як елементарна дія, що становить основу для вироблення обчислювальних навичок.

Розглядаючи обчислювальні навички й уміння як компоненти відповідної діяльності, слід вказати на їх суттєві відмінності. Для прищеплення навичок необхідно автоматизувати елементарні дії, відпрацювавши їх на матеріалі однотипних вправ, становлення обчислювального уміння потребує системи спеціально дібраних вправ, що сприяють осмисленню, самостійному застосуванню школярами раніше набутих знань і навичок обчислень. Становлення уміння обчислювати відбувається за такими етапами:
• ознайомлення з теоретичною основою;
• вивчення конкретного обчислювального прийому;
• формування обчислювальної навички;
• становлення обчислювального уміння.
 

Під час створення теоретичної основи приділяється значна увага можливим способам виконання відповідних дій, відбору наочних посібників та інших засобів пізнавальної діяльності школярів. На цьому етапі вчитель спрямовує розумову діяльність учнів, керує практичними діями, дає зразки міркування, стимулює сприймання, увагу, пам’ять. На занятті з математики під час вивчення конкретного обчислювального прийому слід актуалізувати елементи теорії. Щоб свідомо і глибоко учні засвоїли виучуваний прийом, важливо своєчасно і ґрунтовно повторити на конкретних прикладах властивості чисел і дій, на яких ґрунтується його застосування. 
 

На етапі формування конкретної обчислювальної навички передбачається добір тренувальних вправ, мета яких – навчити обчислювати швидко. Її можна вважати сформованою лише тоді, коли школярі не тільки правильно знаходитимуть результат, а й пояснюватимуть дібраний прийом. Для цього потрібна достатня кількість тренувальних вправ, які різняться і за формою подання (усні, письмові) та організації (фронтальні, індивідуальні, групові тощо), і за змістом (однотипні, різнотипні). Однотипні тренувальні вправи потрібні безпосередньо після розгляду нового прийому, різнотипні – для закріплення і повторення раніше вивченого матеріалу. 
 

Обчислювальне уміння можна вважати сформованим у тому разі, якщо учень свідомо оперує елементами теорії, безпомилково визначає потрібну кількість операцій і підбирає потрібний спосіб обчислення. Але це досягається у разі запровадження спеціальних розвивальних вправ, виконуючи які, дитина аналізує умову, зіставляє, узагальнює і самостійно робить висновок щодо раціональності дібраного способу.
 

Навчання молодших школярів обчислювальної діяльності спирається на знання елементів теорії та способів дій у їх поєднанні. Поняття арифметичної операції діти усвідомлюють на конкретно-предметному рівні. Оперування предметними множинами, свідоме засвоєння змісту арифметичних дій, оволодіння термінологією і символікою, розширення математичного словника створює базу для формування міцних обчислювальних навичок і умінь.

Якісні характеристики сформованості обчислювальних навичок:

Якісні характеристики сформованості обчислювальних навичок:

• повнота, глибина;
• правильність;
• усвідомленість;
• швидкість;
• гнучкість;
• міцність.
 

Міцність обчислювальної навички залежить від свідомого засвоєння школярами елементів теорії, на яких ґрунтуються дії, а також від кількості вправ на осмислення, відпрацювання й закріплення прийому. Теоретичну базу тут становлять знання про число, нумерацію, властивості натурального ряду чисел та арифметичних дій тощо.

Прийоми обчислень в межах чисел першого десятка
 

Уміння правильно знаходити результати додавання і віднімання в межах 10 є необхідною умовою успішного вивчення усних і письмових прийомів виконання цих дій у наступних концернах. Треба прагнути, щоб учні засвоїли таблиці додавання і віднімання. Це і є основною вимогою вивчення арифметичних дій у 1-му класів.
 

У вивченні дій додавання і віднімання в межах 10 можна виділити такі етапи:
• знаходження суми або різниці двох предметних множин перелічуванням предметів;
• ознайомлення з діями додавання та віднімання, зв’язок між ними та символікою цих дій;
• додавання та віднімання в межах даного числа, що виконується на предметній основі або на основі знання складу чисел;
• складання і заучування таблиць додавання і віднімання в межах десяти; застосування табличних результатів для обчислення виразів на дві дії;
• ознайомлення з прийомами додавання й віднімання числа частинами та переставною властивістю дії додавання.
 

Методичні механізми ознайомлення першокласників з написанням цифр.
Організація роботи щодо навчання учнів порівнювати числа в межах десяти здійснюється різними способами: 
• з опорою на попереднє порівняння груп предметів;
• порівняння суміжних чисел на основі правила про утворення наступного числа;
• на основі знання властивостей натурального ряду чисел.
 

В межах чисел першого десятка у процесі обчислювальної діяльності першокласники знайомляться з такими прийомами:
• перелічування;
• прилічування або відлічування по одиниці;
• на основі складу числа і взаємозв’язку додавання і віднімання;
• додавання і віднімання числа частинами;
• застосування переставної властивості під час обчислення прикладів на додавання;
• застосування сполучної властивості додавання.

Прийоми обчислень в межах чисел другого десятка
 

Результат додавання одноцифрових з переходом через десяток чисел можна знайти:
 перелічуванням суми:
 прилічуванням одиниць другого доданка;
 додаванням другого доданка частинами;
 на основі переставної властивості.
 

Основним у процесі складання таблиць виступає прийом додавання частинами – другий доданок розкладають на такі два числа, одне з яких доповнює перший доданок до десяти (7+8=7+3+5+10=5=15).
 

Теоретичною основою прийому є сполучна властивість дії додавання, але формулювання її учням не подається. На практичній задачі з'ясовують, що числа можна додавати частинами. З метою підготовки до застосування прийому додавання числа частинами треба розвинути в учнів уміння доповнювати будь-яке одноцифрове число до 10 та подавати одноцифрове число у вигляді суми двох доданків, один з яких заданий.
 

Вивчаючи табличні випадки віднімання з переходом через розряд, застосовують такі прийоми обчислення.
1. Віднімання чисел частинами (13-5=13-3-2=8).
2. Віднімання числа від 10 з наступним додаванням одиниць зменшуваного (14-6=8). Міркування: 14 – це 6 і 8, якщо відняти 6, то залишиться 8.
3. Знаходження результату віднімання на основі таблиці додавання (14-6=8). Міркування: 14 – це 6 і 8, якщо відняти 8, то залишиться 8.
 

Теоретичною основою першого прийому є правило віднімання суми від числа, другого – віднімання числа від суми, а третього – зв'язок дій додавання і віднімання. Такі відомості розглядаються в практичному плані.
 

Віднімання суми від числа розглядається у вигляді віднімання числа частинами. Пояснення подається за допомогою бесіди на основі дій з предметами чи відповідного малюнка.
 

Для з'ясування віднімання числа від суми варто практично опрацювати відповідне завдання. В результаті вчитель може повідомити, що коли зменшуване складається з двох чисел (доданків), то від'ємник можна віднімати від одного з них. Для закріплення та підготовки до виконання прийому слід виконати 2-3 вправи й практикувати розклад числа на розрядні доданки.
 

Щоб підготувати учнів до використання прийому, який ґрунтується на знанні таблиць додавання, треба повторити зв'язок дій додавання і віднімання (складання прикладів на віднімання з прикладів на додавання: 5+3=8, отже, 8-5=3 і 8-3=5) та застосовувати цей прийом (з поясненням) для чисел першого десятка (9-7=2). Пояснення: 9 – це 7 і 2; якщо відняти 7, то залишиться 2.
 

У багатьох випадках прийоми обчислень зручно ілюструвати за шкалою лінійки. Наприклад, за шкалою лінійки складіть і запишіть відповідні приклади на додавання і віднімання.
 

Після розв'язання прикладів (3+2+3=8; 10-3-1=6) слід запитати, скільки всього одиниць додали в першому прикладі і скільки всього одиниць відняли в другому прикладі.
 

Таблиці додавання і віднімання одноцифрових чисел з переходом через десяток учні мають засвоїти напам'ять. Цьому підпорядковані як методична система складання таблиць та їх первинного засвоєння, так і система тренувальних вправ. У системі тренувальних вправ можна виділити три групи завдань:
• завдання на відтворення прийомів обчислення;
• завдання на відтворення таблиць в їх певній системі;
• завдання на застосування знань табличних результатів у різних ситуаціях.

Прийоми обчислень в межах сотні
 

Випадки додавання і віднімання одиниці (45+1; 45-1) учні розв'язують на основі понять попереднього і наступного числа (за числом 45 іде 46, числу 45 передує число 44).
 

Загальним прийомом усного додавання двоцифрових чисел без переходу та з переходом через розряд є прийом порозрядного додавання. Теоретичною основою прийому є принципи десяткової системи числення та переставна і сполучна властивості дії додавання. У другому класі сполучна властивість не формулюється. З'ясовується, що додавати або віднімати число можна частинами. Однак варто подати і проілюструвати на числових прикладах й таке правило: при додаванні кількох чисел їх можна переставляти, об'єднувати в групи, результат додавання від цього не змінюється. Можна також число розкладати на окремі доданки.
 

Застосування загального прийому до окремих випадків проводять на основі опорних записів, але у випадку утруднень варто застосовувати предметне ілюстрування (бруски-десятки і окремі кубики, смужки з кружечками).
 

На одному з уроків закріплення варто ознайомити учнів з прийомом послідовного додавання двоцифрового числа. На основі опорних записів учням пропонують пояснити і порівняти послідовність виконання обчислень.
 

Теоретичною основою порозрядного віднімання двоцифрових чисел без переходу через десяток є правило віднімання суми від суми. У 2-му класі це правило не вивчають. Пояснення подають за аналогією з прийомом порозрядного додавання. Прийом обчислення ілюструється предметними діями та відповідними записами. Учням пропонують розглянути записи і пояснити їх розв'язання. Потім формулюють правило: віднімаючи двоцифрові числа, десятки віднімаються від десятків, одиниці від одиниць.
 

До окремих випадків віднімання відносимо такі різниці, в яких від'ємник не містить одиниць або десятків.
На останніх уроках закріплення теми на основі відповідних записів учні ознайомлюються з прийомом послідовного віднімання.
Порозрядне усне віднімання двоцифрових чисел з переходом через десяток вимагає передбачення, що один десяток зменшуваного буде необхідний для віднімання одиниць від'ємника. Тому краще загальним прийомом вважати спосіб послідовного віднімання (83-27=□; 82-20=63; 63-7=56). Він спирається на вміння віднімати одноцифрове число від двоцифрового з переходом через десяток, яке можна виконати двома способами:
63-7=□     63-7=□
63-3=60   13-7=6
60-4=56   50+6=56
 

Учням пропонують розглянути обидва способи, але перевага надалі надається першому способу.
Основна відмінність у виконанні письмового й усного додавання і віднімання двоцифрових чисел полягає в тому, що усні обчислення починають з вищих розрядів, а письмові – з нижчих. Існує повна та коротка форма пояснення письмового додавання і віднімання двоцифрових чисел.

Прийоми обчислень в межах 1000

Теоретичною основою дій першого ступеня є принцип нумерації (принцип помісцевого значення цифри та принцип адитивності: кожне число є сумою розрядних доданків), переставний і сполучний закони дії додавання та наслідки цих законів. З переставною властивістю дії додавання учні були ознайомлені раніше. Крім того вони розглядали питання про можливість додавання і віднімання числа частинами. У 3-му класі можна подати (в порядку ознайомлення) формулювання сполучної властивості додавання і на конкретних прикладах пояснити її справедливість.
 

Усне додавання і віднімання в межах 1000 вивчають у такій послідовності:
• додавання і віднімання круглих сотень;
• додавання і віднімання виду 60+90 і 120-30; 
• додавання і віднімання виду 560+320, 560-320;
• додавання виду 430+500, 430+50;
• додавання виду 230+70;
• віднімання виду 650-290 і 600-270.
 

Ознайомлення учнів з обчислювальними прийомами здебільшого проводять методом бесіди із застосуванням структурних записів, але варто також практикувати прийом аналогії, метод розповіді чи самостійної роботи з наступною бесідою.
До усного множення і ділення в межах 1000 і 1000 належать випадки:
• множення і ділення, пов'язані з числами1 і 0, 10 і 100; множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число та множення одноцифрового числа на розрядне число; ділення виду 300:20, 600:300, 600:30;
• множення двоцифрового числа на одноцифрове і одноцифрового на двоцифрове; множення виду 120∙3; ділення двоцифрового числа на одноцифрове та ділення виду 360:3;
• ділення двоцифрових і трицифрових чисел на двоцифрове число при одноцифровій частці способом випробовування;
• ділення з остачею.
 

Як теоретичне забезпечення прийомів обчислення розглядають ділення числа на добуток, множення суми на число і числа на суму, ділення суми на число.
 

Випадки множення на 1 і 0 подають як означення. Для з'ясування правила ділення видів 7:1 і 6:6 треба скористатись зв'язком дій множення і ділення, тобто скласти приклади на ділення з прикладу на множення. Ділення нуля пояснюють на основі зв'язку дій множення і ділення. Про неможливість ділення на нуль слід повідомити так: ділити на нуль не можна. Щоб з'ясувати правило множення на 10, 100, досить розглянути кілька готових розв'язань і порівняти в кожному прикладі перший множник з добутком, потім сформулювати правило: щоб помножити число на 10, треба справа в числі приписати один нуль; щоб помножити на 100, треба справа в числі приписати два нулі. Щоб сформулювати правило ділення на 10 і 100, необхідно скласти з прикладів на множення приклади на ділення та порівняти ділені з частками. Множення і ділення розрядних чисел на одноцифрове число виконують прийомом переходу до десятків і сотень. Для обчислення виразів на множення на розрядні числа (2∙30, 4∙200) використовують переставну властивість або прийом послідовного множення. Для ділення виду 80:20, 600:30, 600:300 застосовують прийом послідовного ділення, але варто показати ще й прийом випробовування.
 

Щоб навчити множити двоцифрове число на одноцифрове необхідно подати двоцифрове число як суму розрядних доданків та використати правило множення суми на число. При множенні одноцифрового числа на двоцифрове використовують переставну властивість та вчаться застосовувати правило множення числа на суму. Для пояснення останнього прийому використовують структурні записи. Випадки усного множення і ділення в межах 1000, що зводяться до табличних або спираються на правило множення суми на число, розглядаються в порядку закріплення (70∙8, 420:6, 320∙3). Учні з'ясовують процес обчислення за структурними записами. Прийом ділення двоцифрового числа на одноцифрове полягає в розкладанні числа на зручні доданки з наступним застосуванням правила ділення суми на число (39:3, 72:3, 50:2). Пояснення чи самостійну роботу учнів організовують, користуючись структурними записами. Звертається увага учнів на те, що обчислення можна здійснити, виділивши найбільше число десятків. Усне ділення двоцифрових і круглих трицифрових чисел на двоцифрове число виконують випробовуванням. Цей спосіб спирається на зв'язок дій ділення і множення та на правило перевірки ділення множенням. Таким способом розглядають і випадки ділення трицифрових чисел на двоцифрове число (125:25, 105:15, 128:16). Досвід показує, що спосіб випробовування учні засвоюють нелегко. Тому варто більше застосовувати обчислення з коментуванням.
 

Ділення з остачею є підготовкою до письмового ділення. З ним часто доводиться зустрічатися і в практичній діяльності. Якщо дане число не ділиться без остачі, то треба знайти найбільше з усіх менших чисел, що ділиться без остачі, і поділити його. Здобутий результат і буде часткою (точніше – неповною часткою). Різниця між даним і меншим числом, що ділиться, становить остачу.

Типові помилки учнів при формуванні обчислювальних навичок

та методичні прийоми їх попередження та усунення

Процес оволодіння обчислювальними навичками дуже складний: спочатку учні повинні засвоїти обчислювальний прийом, а потім внаслідок тренування навчитись швидко виконувати обчислення. Протягом чотирьох років навчання учні знайомляться з великою кількістю обчислювальних прийомів, тому цілком ймовірно, що не всі учні одразу засвоюють їх, а тому часто допускають помилки. У такому разі важливо відшукати шляхи підвищення ефективності навчання, проаналізувавши помилки для їх попередження.
 

Різна природа помилок при обчисленнях виразів вимагає різної методики роботи над ними. Якщо допущена помилка:
• в застосуванні теоретичного матеріалу, то необхідно працювати над засвоєнням теоретичної бази прийому;
• у виконанні основної операції, то потрібно з учнем над відтворенням способу виконання цієї операції;
• у виконанні системи основних операцій, то необхідно працювати над кожною основною операцією, що входить в обчислювальний прийом.
 

Якщо учень застосував невідповідний прийом, то треба працювати над засвоєнням умов застосування потрібного прийому.
Низька ефективність формування обчислювальних умінь і навичок найчастіше пов'язана:
• по-перше, з несвоєчасним виявленням причин появи помилок;
• по-друге, з відсутністю, а інколи й невмінням глибокого аналізу помилок учнів;
• по-третє, вчителю не потрібно поспішати виправляти помилкові відповіді самому. Краще поставити їх на обговорення всього класу і досягти усвідомленого виправлення помилки.
 

Тоді процес виявлення і виправлення помилки самими учнями під керівництвом вчителя можна зробити навчальним.